MATEMÁTICA BÁSICA: CONJUNTOS NUMÉRICOS


O objetivo deste texto é apresentar os Conjuntos Numéricos, considerando as agrupações dos elementos numéricos em Naturais., Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais. Entender a teoria dos conjuntos é importante não só para a matemática, mas até para a lógica, por exemplo. Nos permite categorizar elementos e a partir disso estabelecer relações significativas entre os elementos e entre os conjuntos. Usarei de base o livro Matemática Volume Único de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn, Roberto Périgo. 

Podemos definir conjuntos numéricos como o agrupamento de elementos numéricos que guardam entre si características comuns. O primeiro conjunto que podemos considerar é o Conjunto dos Números Naturais ou Conjunto N.  O conjunto N é composto por números inteiros maiores ou iguais a zero. Logo N = {0, 1, 2, 3, 4...}. A partir disso, podemos apresentar os seguintes subconjuntos de N: 


(1) Conjunto dos Números Naturais Não-nulos: N*= {1, 2, 3, 4...} em que N*=N-{0}; 

(2) Conjunto dos Números Pares: Np={0,2,4,6...} 

(3) Conjunto dos Números Ímpares: Ni= {1, 3, 5, 7...} 

(4) Conjunto dos Números primos: P= {2,3,5,6,11,13...} 


Quando em um conjunto pode ser efetuada uma determinada operação matemática entre quaisquer elementos do conjunto e o resultado da operação é um número que também faz parte do conjunto, dizemos que esse conjunto é fechado em relação à operação em questão. O conjunto N é fechado em relação à adição e à multiplicação, isto significa que se os números do conjunto forem somados ou multiplicados entre si o resultado será sempre um número natural. 


O segundo conjunto a ser considerado é o Conjunto dos Números Inteiros ou Conjunto Z. O conjunto dos números inteiros pode ser escrito como se segue: Z= {… -4,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Dado que todos os elementos do conjunto N se encontram no conjunto Z, dizemos que N é um subconjunto de Z. Matematicamente isso é representado assim: Z => N ⊂ Z ou Z ⊃ N. O sinal ⊂ significa “está contido” enquanto o sinal ⊃ significa “contém”.  Outros subconjuntos de Z são: 


(1) Conjunto dos números inteiros não nulos: Z*= {…-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} de modo que Z*= Z-{0}; 

(2) Conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...}, assim Z+ = N* ; 

(3) Conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4...}, assim Z*+ =N*; 

(4) Conjunto dos números inteiros não-positivos: Z-= {…, -4, -3, -2, -1, 0} 

(5) Conjunto dos números inteiros negativos: Z-* = {…-4, -3, -2, -1}. 


Quando dois números inteiros apresentam soma zero, dizemos que eles são números opostos. Por exemplo (3) + (-3) = 0, sendo assim 3 e –3 são números opostos. Por sua vez, chamamos de valor absoluto ou módulo de um número inteiroo valor numérico real de um número desconsiderando seu sinal. O módulo de um número inteiro representa a distância de um ponto até a sua origem (0). O módulo de um número x é indicado da seguinte forma | x |. 

O terceiro conjunto a ser considerado é o Conjunto dos Números Racionais ou Conjunto Q. Podemos definir um número racional como aquele que pode ser escrito na forma de uma fração. Entre os números racionais estão as dízimas periódicas que são marcadas pela repetição infinita de algarismos após a vírgula. A fração que dá origem à dizima periódica é denominada como função geratriz. Os subconjuntos de Q são: 


(1) Q*: conjunto dos racionais não nulos; 

(2) Q+: conjunto dos racionais não negativos; 

(3) Q+*conjunto dos racionais positivos; 

(4) Q-: conjunto dos racionais não positivos; 

(5) Q-*conjunto dos racionais negativos. 


O conjunto Q é fechado para as operações de adição, multiplicação e subtração. Já o conjunto Q* também é fechado para a divisão. 


O quarto conjunto a ser considerado é o Conjunto dos Números Irracionais ou conjunto I. O conjunto I é constituído por números decimais não exatos que possuem representação infinita, porém não periódica. O agrupamento de todos os elementos numéricos racionais e irracionais forma o Conjunto dos Números Reais ou Conjunto R. O Conjunto R é, assim, formado pelos números racionais e irracionais. Isso pode ser representado como se segue: R=Q ∪ I, sendo Q ∩ I= ∅. O sinal ∪ significa união, enquanto o sinal ∩ significa interseção e o sinal ∅ significa nulo. Q ∩ I= ∅ quer dizer que se um número real é racional, logo ele não é irracional, enquanto que se um número real é irracional, logo ele não é racional. Podemos considerar ainda que N ⊂ Z ⊂ Q. Os subconjuntos dos números reais são: 


(1) R*: reais não-nulos. R*= {x ∈ R | x ≠ 0} 

(2) R+: reais não negativos. R+{x ∈ R | x  0} 

(3) R*+: reais positivos. R*+{x ∈ R | x > 0} 

(4) R-: reais não positivos. R-= {x ∈ R | x  0} 

(5) R -*: reais negativos. R -*{x ∈ R | x < 0} 


Os conjuntos considerados até aqui podem ser representados como se segue: 

 


Por fim, consideraremos os Intervalos Reais. Intervalos são subconjuntos dos números reais, sendo determinados por meio de desigualdades. Sejam os números reais a e b, com a <b, temos: 


(1) Intervalo aberto de extremos a e b: ]a,b[ = {x ∈ R | a <x <b} 

(2) Intervalo fechado de extremos a e b: [a,b] = {x ∈ R | a   b} 

(3) Intervalo aberto à direita (ou fechado à esquerda) de extremos a e b: [a,b[ = {x ∈ R | a  < b} 

(4) Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos a e b: ]a,b] = {x ∈ R | a <  b}. 

 

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