MATEMÁTICA BÁSICA: FUNÇÃO AFIM

Damos o nome de função afim ou função polinomial do primeiro grau, a qualquer função f de domínio e contradomínio nos números reais (R), que pode ser dada pela forma f(x)= ax+b, em que a e b são números reais dados e a ≠ 0. O número a é denominado coeficiente angular enquanto o número b é chamado de termo constante ou coeficiente linear. O gráfico de uma função afim é representado por uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.  

O coeficiente linear (b) indica o lugar em que a reta intercepta o eixo y, pois dado x=0, temos: 

 

f(x)=ax+b => f(x)=y 

f(0)= a.0+b 

f(0)=b 

Dado x=0, y=b. 

 

 Chama-se raiz ou zero da função afim o número real x tal que f(x)=0. Assim, temos: 

 

f(x)=0 

ax+b=0 

ax= -b 

x= -b/a  

Dado y=0, x=-b/a. 

 

Desse modo, a raiz da função f(x)=ax+b é a solução da equação do primeiro grau ax+b=0, de modo que, x= -b/a. 

É possível classificar as funções afins em crescentes e decrescentes. A função do primeiro grau f(x)=ax+b é crescente quando o coeficiente de x é positivo, isto é, a>0. Por outro lado, a função de primeiro grau f(x)=ax+b é decrescente quando o número que acompanha x é negativo (a<0). 

A partir dessa classificação, é possível fazer uma análise de sinais da função afim. Estudar o sinal da função afim y=f(x) é determinar os valores de x para os quais y é positivo (y>0 ou f(x)>0), os valores de x para os quais y é zero (y=0 ou f(x)=0) e os valores de x para os quais y é negativo (y<0 ou f(x)<0). Desse modo, dado y=ax+b ou f(x)=ax+b, sendo f(x)=y e entendendo x=-b/a (raiz), temos: 

 

(1) a>0 (função crescente): 

Se y>0: 

ax+b>0  

ax>-b 

x>-b/a 

Se y<0: 

ax+b<0 

ax<-b 

x<-b/a 

Desse modo, y é positivo para valores de x maiores que a raiz e y é negativo para valores de x menores que a raiz. 

 

(2) a<0 (função crescente) 

Se y>0: 

ax+b>0 

ax>-b  

dado a<0: x<-b/a 

Se y<0: 

ax+b<0 

ax<-b 

dado a<0: x>-b/a 

 

A partir disso, podemos afirmar que numa função crescente (a>0), conforme se aumenta os valores de x, os valores de y serão positivos, de modo que todo valor à direita do valor de x será positivo. Por outro lado, quando se considera valores à esquerda de x, teremos como correspondentes, valores negativos de y. Considerando r a raiz, tal que x=r, podemos determinar a partir da análise do sinal: 

 

Dado a>0: 

f(x)=0 => x=r 

f(x)>0 => x>r 

f(x)<0 => x<r 

 

Isso pode ser representado graficamente pelo seguinte Dispositivo Prático: 

 

Por outro lado, numa função decrescente (a<0) teremos que o sinal de y será positivo para valores menores que r, enquanto os valores à direita de r corresponderão a valores negativos de y. Assim temos: 

 

Dado a<0: 

f(x)=0 => x=r 

f(x)>0 => x<r 

f(x)<0 => x>r 

 

Isso pode ser representado pelo seguinte Dispositivo prático: 

 

A análise de sinais da função afim nos conduz ao estudo das inequações de primeiro grau. Uma inequação do primeiro grau é toda desigualdade que pode ser expressa de tal modo que a incógnita que acompanha o coeficiente angular (a) esteja em primeiro grau. Para a resolução dessas inequações é importante considerar que: (i) quando multiplicamos uma inequação por (-1), invertemos, não só os sinais de todos os números, como também invertemos o sinal de desigualdade; (ii) o resultado de uma inequação é escrito na forma de um conjunto, tal que S= {x ∈ R|intervalo}. 

Uma inequação pode ser resolvida fazendo-se o estudo dos sinais. Para isso, é preciso colocar todos os termos da inequação de um mesmo lado, encontrar a raiz da inequação como se ela fosse uma equação e, por fim, realizar a análise de sinais. Quando uma inequação se encontra na forma de fração, é preciso estudar o sinal dos dois termos separadamente e, a fim de determinar o sinal dos intervalos, considerar a multiplicação dos sinais. Temos a seguir um exemplo desse tipo: 

 

(3x+1)/(x-5)>0 

* 3x+1>0 => a>0 

3x>-1 

x>-1/3 

* x-5>0 => a>0 

x>5 

O estudo dos sinais é feito como se segue: 

Usa-se bolinha aberta para “maior que” (>) e “menor que” (<). Por outro lado, usa-se bolinha fechada para “maior ou igual a” (≥) e “menor ou igual a” (≤). Como a inequação em questão considera f(x)>0, é preciso considerar apenas os resultados para os quais y é positivo (y>0). Assim temos: 

S= {x ∈ R|x<-1/3 ou x>5} 

 

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REFERÊNCIAS: 

 

Explicabem André Pakito - Inequações 1°Grau - Estudo dos Sinais.  

Ferreto Matemática - Função do Primeiro Grau (Função Afim): Estudo do Sinal (Aula 9 de 9). 

Infoescola - Matemática - Inequação do primeiro grau. 

Matemática - Volume Único de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo.