MATEMÁTICA BÁSICA: FUNÇÃO QUADRÁTICA

 

Chama-se função quadrática ou função polinomial do segundo grau, qualquer função f de R em R, dada pela lei da forma f(x)=ax2 +bx+c, em que a, b e c são números reais e a ≠0. O gráfico de uma função polinomial é uma curva chamada parábola, em que dado y= ax2 +bx+c, temos que: 

(1) se a>0: a parábola tem a concavidade voltada para cima: 

(2) se a<0: a parábola tem a concavidade voltada para baixo: 

 

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do segundo grau f(x) =ax2 +bx+c, os números reais x tais que f(x)=0. Desse modo, as raízes da função y= ax2 +bx+c, são as soluções da equação do segundo grau ax2 +bx+c, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:  

x = – b ± √∆   ,
                        2a 

sendo que Δ = b2 – 4ac.

A quantidade de raízes de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando Δ = b2 – 4ac , chamado discriminante: 

(1) quando Δ é positivo: há duas raízes reais e distintas; 

(2) quando Δ é zero: há só uma raiz real (ou uma raiz dupla); 

(3) quando Δ é negativo: não há raiz real. 

Vale considerar também que quando b=0, as raízes são simétricas, isto é, têm-se como raízes dois números opostos.  

Considerando x1 e x2 as raízes da equação ax2 +bx+c, de tal modo que:  

x1 = – b + √∆  ;           

               2a                         

x2 = – b - √∆  ;           

               2a      

É possível determinar x1+x2: 

x1+x2 = [(– b + √∆)/2a] + [(– b - √∆)/2a] 

x1+x2 = (-b-b+ √∆- √∆)/2a 

x1+x2 = -2b/2a 

x1+x2 = -b/a 

 

Considerando x1 e x2, as raízes da equação ax2 +bx+c, de tal modo que:  

x1 = – b + √∆  ;           

               2a                         

x2 = – b - √∆  ;           

               2a      

Também é possível determinar o produto x1.x2: 

x1.x2= [(– b + √∆)/2a] . [(– b - √∆)/2a] 

x1.x2= [+b2+b √∆ - b √∆ -(√∆)2]/4a2 

x1.x2= [b2-(√∆)2]/4a2 

x1.x2= [b2- ∆]/4a2 

x1.x2= [b2- (b2-4ac)]/4a2 

x1.x2= (b2 - b2+4ac)/4a2 

x1.x2=(4ac)/4aa 

x1.x2=c/a 

 

Assim, sendo x1 e x2, as raízes da equação ax2 +bx+c, de tal modo que:  

x1 = – b + √∆  ;           

               2a                         

x2 = – b - √∆  ;           

               2a      

temos que: 

 

x1+x2 = -b/a 

            x1.x2=c/a 

A função quadrática f(x)= ax2 +bx+c, pode ainda ser apresentada de forma fatorada. A fim de determinar a forma fatorada da função quadrática temos: 

f(x)= ax2 +bx+c 

f(x)=a[x2 +(b/a)x+(c/a)] 

f(x)=a[x2-(x1+x2)x+x1. x2] 

=> (x1+x2)=-b/a (. -1) 

      b/a = - (x1+x2) 

f(x)=a[x2-(x1x+x2x)+x1x2] 

f(x)=a[x2-x1x-x2x+x1x2] 

f(x)= a[x(x-x1)-x2(x-x1)] 

f(x)= a[(x-x2)(x-x1)] 

f(x)= a(x-x2)(x-x1) 

f(x)= a(x-x1)(x-x2) 

Desse modo, a lei de uma função quadrática pode ser representada pela forma faturada: f(x)= a(x-x1)(x-x2). 

Na representação gráfica da função quadrática quando a>0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V. Já quando a<0, a parábola possui concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V: 

Ao ponto V, dá-se o nome de vértice da parábola. Como se pode observar pelo gráfico, xv é dado de tal modo que xv= (x1+x2)/2, já que ele se encontra no ponto médio entre as raízes. Desse modo, temos que, dado: 

x1 = – b + √∆  ;           

               2a                         

x2 = – b - √∆  ;           

               2a      

logo: 

xv=(x1+x2)/2 

xv={[(– b + √∆)/2a] +[(– b - √∆)/2a]}/2 

xv= [(-b+ √∆-b- √∆)/2a]/2 

xv= (-2b/2a)/2 

xv= (-2b/2a)(½) 

xv= (-2b/4a) 

xv= -b/2a 

Sendo assim, xv= -b/2a 

Considerando xv=-b/2a, pode-se determinar o valor de yv a partir da fórmula da função quadrática: 

y= ax2 +bx+c 

yv=a[(-b)/2a]2+b[(-b)/2a)]+c 

yv=a[(-b)/2a] [(-b)/2a] - [(b)2/2a] + c 

yv=a(b2/4a2)-[(b)2/(2a)]+c 

yv= ab2/4a2 - (b)2/(2a)+c 

yv=(ab2/4aa) - (b2/2a)+c 

yv= (b2/4a)- (b2/2a)+c 

yv= (b2-2b2+4ac)/4a 

[yv= (-b2+4ac)/4a].(-1) 

- yv= (b2-4ac)/4a 

=> Δ = b2 – 4ac 

- yv= Δ/4a 

[- yv= Δ/4a].(-1) 

yv= -Δ/4a 

Sendo assim, yv= -Δ/4a 

 

Dado, pois, que xv= -b/2a e yv= -Δ/4a, temos que as coordenadas do vértice da parábola são V=(-b/2a; -Δ/4a). 

A partir do que foi alcançado até aqui, é possível determinar o conjunto Imagem (Im) da função quadrática. O conjunto Imagem (Im) é aquele que diz respeito aos valores que a variável dependente (y) pode assumir a depender dos valores correspondentes de x. Assim, o conjunto Imagem (Im) da função y= ax2 +bx+c, sendo a ≠0, é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possibilidades: 

(1) Quando a>0: Im={y∈R/y ≥ yv=-Δ/4a} 

(2) Quando a<0: Im={y∈R/y ≥ yv=-Δ/4a} 

 

É possível construir o gráfico de uma função do segundo grau sem necessariamente ter de montar a tabela de pares (x;y), levando em conta que: 

(1) O valor do coeficiente “a” define a concavidade da parábola: a>0: concavidade voltada para cima; a<0: concavidade voltada para baixo. 

(2) Os zeros (x1 e x2) definem os pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x. 

(3) O vértice V=(-b/2a; -Δ/4a), indica o ponto de mínimo (se a>0) ou de máximo (se a<0). 

(4) A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o eixo de simetria da parábola. 

(5) Para x=o, temos: y= ax2 +bx+c => y=a(0)2+b(0)+c=> y=c; desse modo, sendo f(0)=c, então (0;c) é o ponto em que a parábola corta o eixo y. 

A partir disso temos:  

 

Em relação aos sinais de uma função quadrática f(x)= y= ax2 +bx+c, é possível determinar os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivo. Conforme o sinal do discriminante Δ = b2 – 4ac, podem ocorrer os seguintes casos: 

(1) Δ>0: neste caso, a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1≠x2). A parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos: 

(1.1) a>0: y>0, se x<x1 ou x>x2; y<0, se x1<x<x2 

                

(1.2) a<0: y>0, se x1<x<x2; y<0, se x<x1 ou x>x2 

(2) Δ=0: neste caso, a função admite dois zeros reais iguais (x1=x2), a parábola tangencia o eixo dos x em um único ponto: 

(2.1) a>0: y>0, se x ≠ x1 ou x ≠ x2; não há valores de x para os quais y<0. 

 

(2.2) a<0: y<0 se x ≠ x1 ou x ≠ x2; não há valores de x para os quais y>0. 

 

(3) Δ<0: neste caso, a função quadrática não intercepta o eixo dos x, não admitindo zeros reais: 

(3.1) a>0: para qualquer valor que x assuma y>0; não haverá valores de x para os quais y ≤0. 

 

(3.2) a<0: para qualquer valor que x assuma y<0; não haverá valores de x para os quais y ≥0. 

                 

É possível aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações. Por exemplo, para uma inequação tal que ax2 +bx+c, está em questão que se determine quais os valores de x para os quais y<0. 

Quando se trata de inequações do tipo, por exemplo, n1<x2<n2 em que n∈R, considera-se como havendo duas inequações simultâneas: 

Inequação I: n1<x2 

Inquação II: n2>x2 

A partir disso, estuda-se o sinal de cada uma das inequações e busca-se a intersecção das duas soluções. A mesma lógica pode ser usada para a resolução de sistema de inequações. Em se tratando de inequações do tipo (y1)(y2)<0 ou (y1)/(y2)<0, realiza-se a multiplicação dos sinais. 

 

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Referência Bibliográfica: 

Matemática - Volume Único de Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce, David Degenszajn e Roberto Périgo.