PRINCÍPIOS INICIAIS DE MATEMÁTICA BÁSICA

- janeiro 02, 2021

O objetivo deste texto é apresentar os principais iniciais da Matemática Básica, isto é, aqueles princípios fundamentais necessários de saber como primeiro passo para se estudar a Matemática Básica. Esses princípios são: (i) Teoria dos Números; (ii) Máximo Múltiplo Comum; (iii) Máximo Divisor de Comum; (iv) Operações com Frações; (v) Porcentagem; (vi) Potenciação e; (vii) Radiação.

I. TEORIA DOS NÚMEROS

Ao classificar os números, podemos distinguir entre números primos e números compostos. Um número primo é aquele que possui dois divisores. O conjunto dos números primos é o seguinte:

P= {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29...}

Os números compostos, por sua vez, são aqueles que possuem mais do que dois divisores. É importante pontuar que o número 1 não é nem primo nem composto. Vale dizer também que divisores são aqueles números pelos quais um número pode ser divido de modo a ter resto 0. O número de divisores (n) de um número x é tal que:

n[D(x)]=y

Qualquer número, com exceção de 1 e 0, pode ser descrito a partir da multiplicação de números primos. Essa descrição pode ser feita por meio da fatoração em primos, que consiste em dividir um número por todos os primos que são seus divisores. Por exemplo:

O número de divisores naturais de um número pode ser encontrado considerando os expoentes do número descrito em forma fatorada, adicionando uma unidade a cada expoente e multiplicando os resultados. Por exemplo:

II. MINÍMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

O menor múltiplo comum sem contar o zero, é encontrado fazendo a fatoração de todos os números entre os quais se pretende encontrar o mínimo múltiplo comum. Por exemplo:

III. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)

O método prático para encontrar o máximo divisor comum consiste em fazer a fatoração considerando somente os números primos que podem dividir todos os números envolvidos ao mesmo tempo:

IV. OPERAÇÃO COM FRAÇÕES

(1) Adição e Subtração de Frações: é preciso tirar o mínimo múltiplo comum (mmc) dos denominadores e depois dividir pelo denominador e multiplicar pelo numerador. Exemplo:

(2) Multiplicação de Frações: é preciso multiplicar o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Exemplo:

(3) Divisão de Frações: é preciso manter a primeira fração e multiplicá-la pelo inverso da segunda:

V. PORCENTAGEM

Uma porcentagem pode ser representada de diferentes formas, usando como exemplo trinta porcento temos as seguintes formas de representação:

(1) Forma percentual: 30%

(2) Forma Fracionária: 30/100

(3) Forma Unitária (Decimal): 0,3

Em cálculos, são utilizadas a forma fracionária ou a forma unitária. A porcentagem de um número, é dada pela multiplicação desse número pela forma fracionária ou unitária da porcentagem. Para calcular 10 % ou 1% de um número, basta “andar com a vírgula” uma casa (no caso de 10%) ou duas casas (no caso de 1%) para a esquerda.

Quando é preciso aumentar em uma certa porcentagem de um dado valor, considera-se 100% acrescido dessa porcentagem e, então, multiplica-se pelo valor. Por outro lado, quando se pretende realizar um desconto de uma certa porcentagem de um dado valor, considera-se 100% menos a porcentagem a ser subtraída e, então, multiplica-se pelo valor. Quando é o caso de aumento e descontos sucessivos, para compor os vários aumentos e/ou descontos basta multiplicar os vários fatores individuais e obter o fator acumulado.

VI. POTENCIAÇÃO

Seja a um número real e n um número natural, com n ≥ 2, a potência de base a e expoente n é o número an tal que:

Quando todo um número negativo, incluindo seu sinal, estiver elevado a um expoente, então caso o expoente seja par, o resultado será positivo, enquanto se o expoente for ímpar, o resultado será negativo.

No caso de toda uma fração se encontrar elevada a um expoente, deve ser considerado o expoente para cada parte (para o numerador e para o denominador).

Seja a um número real não nulo e n um número natural, com n≥ 2, a potência base a e expoente –n é o número a-n tal que:

No caso de uma fração, temos:

Toda potência de expoente 1 é igual à base, logo:

a1=a

Por sua vez, quando o expoente é 0, para a ≠ 0, temos que:

a0=1

Sendo a e b ∈ R (números reais) e m e n ∈ N (números naturais), a potenciação apresenta as seguintes propriedades:

(1) Numa multiplicação de bases iguais conserva-se a base e soma-se os expoentes:

(2) Numa divisão de bases iguais, conserva-se a base e subtrai-se os expoentes, isto é, calcula-se o expoente do numerador menos o expoente do denominador:

(3) No caso de potência de potência, conserva-se a base e multiplica-se o expoente:

(4) A potência de uma multiplicação se transforma na multiplicação de duas potências:

(5) No caso de uma fração elevada a um único expoente, esse expoente aplica-se tanto ao numerador quando ao denominador:

VII. RADIAÇÃO

A radiação é a operação inversa da potenciação. A radiação é definida de modo que sendo a um número real e n um número natural diferente de zero, dizemos que n√a é um número b , tal que bn = a.

A nomenclatura dos termos de uma radiação n√a é a seguinte:

n => índice

√ => radical

a => radicando

Segundo os princípios da radiação, temos que:

(1) n√an = a, para todo a ≥0.

(2) A raiz quadrada de um quadrado perfeito é tal que √a2 = |a|, no qual |a| é a, se a ≥0 e |a| é

-a se a<0.

(3) Quando a raiz possui um índice par (p), temos que: p√x => x ≥0.

(4) Quando a raiz possui um índice ímpar (i), temos que: i√x => x ∈ R.

Em relação à Potenciação de Expoente Racional temos que a potência de base a (a>0), e expoente racional m/n, é o número:

É possível simplificar uma raiz fatorando o radiando a e agrupando os resultados de acordo com o índice, de modo que os números agrupados são retirados da raiz e os não-agrupados permanecem nela. Exemplo: