LÓGICA CLÁSSICA: TABELAS DE VERDADE


O objetivo deste texto é introduzir a Lógica Clássica apresentando os operadores verofuncionais e as tabelas de verdade. Para tanto, foi utilizado como referência os vídeos do canal Lógica pô disponíveis aqui. Este texto é composto das seguintes partes: (i) conceitos importantes; (ii) operadores verofuncionais; (iii) interconversão de operadores; (iv) tabela com mais de duas variáveis. 

A Lógica pode ser entendida como o estudo das inferências válidas. Este texto tem como objetivo falar da Lógica Clássica ou lógica de primeira ordem, que não deve ser confundida com a lógica aristotélica. A Lógica Clássica é aquela que foi formalizada por Gottlobe Frege, tendo como objetivo evitar as ambiguidades da linguagem comum e propor um sistema que economizasse espaço. Contemporaneamente, no entanto, também foram desenvolvidas lógicas não-clássicas, que podem ser classificadas em dois grupos: (i) lógicas ampliativas: adicionam elementos à lógica clássica sendo compatível com ela (exemplos: lógica modal, lógicas deônticas,temporal, epistêmica, doxática, imperativa, erotérica etc.); (ii) lógicas desviantes: são aquelas que rejeitam algum elemento da lógica clássica (exemplos: lógica intuicionista, lógica paraconsistente, lógica quântica, lógica difusa etc. ).  

 

I. CONCEITOS IMPORTANTES  

 

Para compreender a lógica clássica, é preciso ter em mente alguns conceitos importantes, tais como: 

  • Sentença: sequência gramaticalmente correta de palavras. 

  • Sentença assertória: aquela que afirma ou nega algo. 

  • Proposição: conteúdo de uma sentença assertória. 

  • Enunciado: instância de uma sentença em sua expressão em um determinado tempo e espaço. 

  • Argumento: sequência de sentenças das quais a última é a conclusão e as demais são premissas que pretendem sustentá-la. 

  • Axiomas: sentenças primitivas, isto é, sentenças que não são derivadas de outras proposições. 

  • Prova lógica: sequência de fórmulas (F1, F2,... Fn), em que as fórmulas são ou axiomas ou são derivas de fórmulas anteriores por regras de inferência (será definido a seguir). 

  • Teorema: última fórmula de uma prova. 

  • Colário: conclusão imediata de um teorema. 

  • Lema: teorema intermediário. 

  • Regras de inferência: procedimento que nos permite “passar” de uma fórmula para outra.  

 

        Dois exemplos de regras de inferência são o modus ponens e o modus tollens. Todas começam por “Se P então Q”, em que P é o antecedente e Q é o consequente. No caso do modus ponens, afirma-se P para obter Q como conclusão, já no caso do modus tollens nega-se Q para obter como conclusão a negação de P. Para representar isso podemos usar os seguintes símbolos: → (implicação: “então); ¬ (negação: “não é o caso que); ∴ (conclusão: “logo”). 

MODUS PONES 

P →QSe P então Q” 

P “P é verdadeiro” 

∴Q “Logo, Q é verdadeiro” 

P →Q, P 

∴Q 

 

MODUS TOLLENS 

P →Q “Se P então Q” 

¬Q “Q é falso” 

¬P “Logo, P também é falso” 

P →Q, ¬Q 

¬P 

 

II. OPERADORES VEROFUNCIONAIS 

 

Operadores são conectivos sentenciais que ligam variáveis proposicionais. Variáveis proposicionais são fórmulas atômicas e se referem a cada letra (P, Q, etc.) enquanto uma fórmula molecular vai ser formada por essas variáveis conectadas a outro por um operador (exemplo: P →Q). Podemos considerar os seguintes operadores verofuncionais: 

(implicação) “então” 

¬ (negação) “não é o caso que” 

∨ (disjunção) “ou” 

∧ (conjunção) “e” 

Em relação a cada função em que esses operadores aparecem pode-se atribuir dois valores: verdadeiro ou falso, na medida em que entendemos que a lógica clássica é binária. Assim, usando um operador temos uma função de conjunção (exemplo: Conj (P,Q)) à qual se atribui o valor ou de V (verdadeiro) ou de F (falso). Assim temos, ou Conj (P,Q)= V ou Conj (P, Q) = F. Em termos de conjuntos, temos o Domínio das fórmulas, a exemplo de (P,Q) e o contradomínio (V, F). O conectivo faz a função de ligar a fórmula ao valor de verdade ou de falsidade. Considere, de exemplo, Conj (P,Q) = V, podemos representar isso assim: 



A partir disso é possível montar tabelas de verdade, nas quais se atribui ou um valor V ou um valor F a cada variável proposicional que resultará em um determinado valor para toda a função a depender do operador utilizado como conectivo. Para tanto, é preciso seguir o chamado Princípio da Composicionalidade, segundo o qual, o significado de uma sentença é uma função do significado de seus constituintes. Consideremos, pois, cada um dos operados funcionais: 

 

2.1 OPERADOR DE NEGAÇÃO (¬) 

 

O operador de negação ) pode ser lido como “Não é o caso que” e ele pode ser utilizado na presença de uma única variável funcional. Assim, podemos ter, por exemplo: ¬P, que pode ser lido como “não é o caso que P seja verdadeiro”. A negação inverte os valores de verdade da variável. Portanto, se P=V, então ¬P=F; por sua vez se P=F, então ¬P=V. A partir disso, podemos montar a seguinte tabela da verdade: 

Tabela da Verdade da Negação 

P 

¬P 

V 

F 

F 

V 

 

É importante, no entanto distinguir dois tipos de negação. Pode-se falar da negação de re, que é um tipo de negação que pressupõe que a coisa referida existe. Exemplo: “o maior número primo não é par”, esse tipo de negação pressupõe que “existe o maior número primo” e “ele não é par”, como a sentença “existe o maior número primo” é falsa, então a sentença completa “o maior número primo não é par” é falsa. No entanto, ao usar o operador de negação na lógica clássica, geralmente se tem em mente uma negação de dicto, que é a negaão da proposição, usando o mesmo exemplo teríamos: “Não é o caso que o maior número primo é par”, nesse caso, esse tipo de negação não pressupõe a existência do maior número primo, logo trata-se de uma negação que resulta verdadeira. 

Além disso, quando se quer usar a negação para englobar mais do que a variável, aquilo que está sendo negado deve ser colocado entre parênteses. Por exemplo, em ¬P →Q, o operador de negação se aplica somente à variável P, de modo que se lê “a negação de P implica Q”, no entanto, se queremos negar toda a fórmula, devemos escrever ¬(P →Q), que significa “não é o caso que P implique Q”. 

 

2.2 OPERADOR DE DISJUNÇÃO (∨) 

 

Os operadores que serão utilizados a partir de agora envolvem uma relação entre pelo menos duas variáveis. A disjunção envolve o sentido de um “ou”. No entanto, existem dois tipos de disjunção. De um lado, há a disjunção inclusiva, que envolve a possibilidade de ambas a variáveis serem verdadeiras. Por exemplo, a frase “posso ir à lanchonete ou à praia”, continua verdadeira mesmo se a pessoa ir tanto à lanchonete quanto à praia. A disjunção inclusiva PQ significa que “PQ é verdadeiro se e somente se (sse) pelo menos um dois dois P ou Q for verdadeiro” ou ainda “P∨Q só é falso se e somente se P e Q forem ambos falsos”. Desse modo, a tabela de verdade da disjunção inclusiva pode ser representada da seguinte forma: 

Tabela da Verdade da Disjunção Inclusiva 

P 

Q 

P∨Q 

V 

V 

V 

V 

F 

V 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

 

Diferente da disjunção inclusiva, a disjunção exclusiva não inclui a possibilidade de ambas as variáveis serem verdadeiras. Assim, usando o exemplo anterior teríamos “Ou eu vou à lanchonete ou eu vou à praia”, nesse caso não está contemplada a possibilidade de que eu vá tanto à lanchonete quanto à praia. A disjunção exclusiva pode ser representada por ⊻ ou ⊕. Nesse caso, temos que P⊻Q  só será verdadeiro se e somente se o valor da variável P for diferente do valor da variável Q. Assim, podemos representar a tabela da verdade da disjunção inclusiva do seguinte modo: 

Tabela da Verdade da Disjunção Exclusiva 

P 

Q 

P⊻Q 

V 

V 

F 

V 

F 

V 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

 

2.3 OPERADOR DA CONJUNÇÃO (∧) 

 

A conjunção é o operador (∧) que é lido como “e”. Assim, P∧Q significa “Tanto P como Q são verdadeiros”. Em termos de valor de verdade, P∧Q resulta verdadeiro se e somente se (sse) ambos P e Q são verdadeiros. Desse modo, a tabela de verdade da conjunção é: 

Tabela da Verdade da Conjunção 

P 

Q 

P Q 

V 

V 

F 

V 

F 

V 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

 

2.4 OPERADOR DE IMPLICAÇÃO (→) 

 

O operador de implicação (se... então...) envolve um antecedente e um consequente. Ela significa que sendo o antecedente verdadeiro, o consequente é verdadeiro. Embora a princípio pareça contraintuitivo, a implicação só resulta em falso se o antecedente é verdadeiro e o consequente falso. Isso significa que condicionais com antecedentes falsos implicam a verdade do consequente. Desse modo, podemos representar a tabela da implicação do seguinte modo: 

Tabela da Verdade da Implicação 

P 

Q 

P  Q 

V 

V 

V 

V 

F 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

V 

 

2.5 TABELA COM TODOS OS OPERADORES 

 

Assim, podemos resumir da seguinte forma os operadores e suas relações com os valores de verdade: 

P→Q 

Só resulta em falso se P for verdadeiro e Q falso. 

¬P 

Inverte o valor de verdade de P 

¬Q 

Inverte o valor de verdade de Q 

P∨Q 

Resulta falso se P e Q forem ambos falsos. 

P⊻Q 

Resulta verdadeiro se o valor de verdade de P for diferente do de Q. 

P∧Q 

Resulta verdadeiro apenas se ambos são verdadeiros 

Essas noções também podem ser expressas como funções, assim temos que: 

I (¬P) =V sse I(P)=F, ou seja, a função da negação de P retorna verdadeira se e somente se P for falso, 

I (P∨Q) = V sse I(P)=V ou I(Q)=V a função da disjunção incluisva P ou Q retorna verdadeira se e somente se P ou Q forem verdadeiros. 

I (P∧Q)=V sse I(P)=V e I(Q)=V   a função conjuntiva P e Q retorna verdadeira se e somente se P e Q forem ambos verdadeiros 

I( PQ)=V sse I(P)=F ou I(Q)=V a função de implicação de P para Q resulta verdadeira se e somente se P for falso ou Q for verdadeiro.  

Assim, podemos montar a tabela da verdade com todas essas possibilidades: 

P 

Q 

P  Q 

¬P 

¬ Q 

P∨Q 

P⊻Q 

P∧Q 

V 

V 

V 

F 

F 

V 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

V 

V 

V 

F 

F 

V 

V 

V 

F 

V 

V 

F 

F 

F 

V 

V 

V 

F 

F 

F 

 

III. INTERCONVERSÃO DE OPERADORES 

 

Utilizando as tabelas de verdade é possível perceber que algumas fórmulas equivalem a outras. A equivalência é um tipo de bi-implicação ou bi-condicional e significa que ambas as variáveis ou fórmulas tem o mesmo valor. A relação de equivalência pode ser representada por   . Assim P   Q só resulta verdadeiro se P e Q tiverem o mesmo valor de verdade: 

Tabela de Verdade da Equivalência 

P 

Q 

P ⇔ Q 

V 

V 

V 

V 

F 

F 

F 

V 

F 

F 

F 

V 

 

É importante lembrar que P e Q podem ser substituídos por outras variáveis e isso pode ajudar a mostrar como fórmulas equivalem. Considere, por exemplo, que queremos saber os valores de verdade da seguinte fórmula ¬(P∧¬Q). Podemos primeiro considerar o valor de verdade de (P∧¬Q), para tanto será preciso combinar o valor de verdade de P com o de ¬Q. (P∧¬Q) resulta verdadeiro, pelas regras da conjunção, se ambos são verdadeiros. Precisamos localizar na tabela onde P e ¬Q são ambos verdadeiros. Para sabermos o valor de ¬Q só precisamos lembrar que ele é o inverso de Q. Por fim, tendo determinado (P∧¬Q), para sabermos o valor de ¬(P∧¬Q), basta invertermos os valores. Veja como pela tabela abaixo é possível mostrar que P  Q ¬(P∧¬Q) 

P 

Q 

P  Q 

¬Q 

P∧¬Q 

¬(P∧¬Q) 

V 

V 

V 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

V 

V 

F 

F 

V 

F 

F 

V 

V 

F 

V 

P → Q ¬(P∧¬Q) 

Vamos considerar outras equivalências com a ajuda da tabela. Tendo em mente que PQ é uma relação de bi-implicação, ela equivale a dizer que se P equivale a Q então é verdade tanto que P implica Q quanto que Q implica P, o que pode ser expresso como uma conjunção em que é o caso que P → Q e Q →P são ambos verdadeiros, ou seja, (P → Q) (Q →P). De modo que temos a seguinte relação: (P⇔Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q →P)), cuja equivalência pode ser visualizada na tabela abaixo: 

P 

Q 

P ⇔ Q 

P → Q 

Q →P 

(P → Q) ∧ (Q →P)