LÓGICA CLÁSSICA: TABELAS DE VERDADE

julho 17, 2023

LÓGICA CLÁSSICA: TABELAS DE VERDADE

O objetivo deste texto é introduzir a Lógica Clássica apresentando os operadores verofuncionais e as tabelas de verdade. Para tanto, foi utilizado como referência os vídeos do canal Lógica pô disponíveis aqui. Este texto é composto das seguintes partes: (i) conceitos importantes; (ii) operadores verofuncionais; (iii) interconversão de operadores; (iv) tabela com mais de duas variáveis.

A Lógica pode ser entendida como o estudo das inferências válidas. Este texto tem como objetivo falar da Lógica Clássica ou lógica de primeira ordem, que não deve ser confundida com a lógica aristotélica. A Lógica Clássica é aquela que foi formalizada por Gottlobe Frege, tendo como objetivo evitar as ambiguidades da linguagem comum e propor um sistema que economizasse espaço. Contemporaneamente, no entanto, também foram desenvolvidas lógicas não-clássicas, que podem ser classificadas em dois grupos: (i) lógicas ampliativas: adicionam elementos à lógica clássica sendo compatível com ela (exemplos: lógica modal, lógicas deônticas,temporal, epistêmica, doxática, imperativa, erotérica etc.); (ii) lógicas desviantes: são aquelas que rejeitam algum elemento da lógica clássica (exemplos: lógica intuicionista, lógica paraconsistente, lógica quântica, lógica difusa etc. ).

I. CONCEITOS IMPORTANTES

Para compreender a lógica clássica, é preciso ter em mente alguns conceitos importantes, tais como:

Sentença: sequência gramaticalmente correta de palavras.
Sentença assertória: aquela que afirma ou nega algo.
Proposição: conteúdo de uma sentença assertória.
Enunciado: instância de uma sentença em sua expressão em um determinado tempo e espaço.
Argumento: sequência de sentenças das quais a última é a conclusão e as demais são premissas que pretendem sustentá-la.
Axiomas: sentenças primitivas, isto é, sentenças que não são derivadas de outras proposições.
Prova lógica: sequência de fórmulas (F1, F2,... Fn), em que as fórmulas são ou axiomas ou são derivas de fórmulas anteriores por regras de inferência (será definido a seguir).
Teorema: última fórmula de uma prova.
Colário: conclusão imediata de um teorema.
Lema: teorema intermediário.
Regras de inferência: procedimento que nos permite “passar” de uma fórmula para outra.

Dois exemplos de regras de inferência são o modus ponens e o modus tollens. Todas começam por “Se P então Q”, em que P é o antecedente e Q é o consequente. No caso do modus ponens, afirma-se P para obter Q como conclusão, já no caso do modus tollens nega-se Q para obter como conclusão a negação de P. Para representar isso podemos usar os seguintes símbolos: → (implicação: “então”); ¬ (negação: “não é o caso que)”; ∴ (conclusão: “logo”).

MODUS PONES

P →Q “Se P então Q”

P “P é verdadeiro”

∴Q “Logo, Q é verdadeiro”

P →Q, P

∴Q

MODUS TOLLENS

P →Q “Se P então Q”

¬Q “Q é falso”

∴¬P “Logo, P também é falso”

P →Q, ¬Q

∴¬P

II. OPERADORES VEROFUNCIONAIS

Operadores são conectivos sentenciais que ligam variáveis proposicionais. Variáveis proposicionais são fórmulas atômicas e se referem a cada letra (P, Q, etc.) enquanto uma fórmula molecular vai ser formada por essas variáveis conectadas a outro por um operador (exemplo: P →Q). Podemos considerar os seguintes operadores verofuncionais:

→ (implicação) “então”

¬ (negação) “não é o caso que”

∨ (disjunção) “ou”

∧ (conjunção) “e”

Em relação a cada função em que esses operadores aparecem pode-se atribuir dois valores: verdadeiro ou falso, na medida em que entendemos que a lógica clássica é binária. Assim, usando um operador temos uma função de conjunção (exemplo: Conj (P,Q)) à qual se atribui o valor ou de V (verdadeiro) ou de F (falso). Assim temos, ou Conj (P,Q)= V ou Conj (P, Q) = F. Em termos de conjuntos, temos o Domínio das fórmulas, a exemplo de (P,Q) e o contradomínio (V, F). O conectivo faz a função de ligar a fórmula ao valor de verdade ou de falsidade. Considere, de exemplo, Conj (P,Q) = V, podemos representar isso assim:

A partir disso é possível montar tabelas de verdade, nas quais se atribui ou um valor V ou um valor F a cada variável proposicional que resultará em um determinado valor para toda a função a depender do operador utilizado como conectivo. Para tanto, é preciso seguir o chamado Princípio da Composicionalidade, segundo o qual, o significado de uma sentença é uma função do significado de seus constituintes. Consideremos, pois, cada um dos operados funcionais:

2.1 OPERADOR DE NEGAÇÃO (¬)

O operador de negação (¬) pode ser lido como “Não é o caso que” e ele pode ser utilizado na presença de uma única variável funcional. Assim, podemos ter, por exemplo: ¬P, que pode ser lido como “não é o caso que P seja verdadeiro”. A negação inverte os valores de verdade da variável. Portanto, se P=V, então ¬P=F; por sua vez se P=F, então ¬P=V. A partir disso, podemos montar a seguinte tabela da verdade:

Tabela da Verdade da Negação

P	¬P
V	F
F	V

É importante, no entanto distinguir dois tipos de negação. Pode-se falar da negação de re, que é um tipo de negação que pressupõe que a coisa referida existe. Exemplo: “o maior número primo não é par”, esse tipo de negação pressupõe que “existe o maior número primo” e “ele não é par”, como a sentença “existe o maior número primo” é falsa, então a sentença completa “o maior número primo não é par” é falsa. No entanto, ao usar o operador de negação na lógica clássica, geralmente se tem em mente uma negação de dicto, que é a negaão da proposição, usando o mesmo exemplo teríamos: “Não é o caso que o maior número primo é par”, nesse caso, esse tipo de negação não pressupõe a existência do maior número primo, logo trata-se de uma negação que resulta verdadeira.

Além disso, quando se quer usar a negação para englobar mais do que a variável, aquilo que está sendo negado deve ser colocado entre parênteses. Por exemplo, em ¬P →Q, o operador de negação se aplica somente à variável P, de modo que se lê “a negação de P implica Q”, no entanto, se queremos negar toda a fórmula, devemos escrever ¬(P →Q), que significa “não é o caso que P implique Q”.

2.2 OPERADOR DE DISJUNÇÃO (∨)

Os operadores que serão utilizados a partir de agora envolvem uma relação entre pelo menos duas variáveis. A disjunção envolve o sentido de um “ou”. No entanto, existem dois tipos de disjunção. De um lado, há a disjunção inclusiva, que envolve a possibilidade de ambas a variáveis serem verdadeiras. Por exemplo, a frase “posso ir à lanchonete ou à praia”, continua verdadeira mesmo se a pessoa ir tanto à lanchonete quanto à praia. A disjunção inclusiva P∨Q significa que “P∨Q é verdadeiro se e somente se (sse) pelo menos um dois dois P ou Q for verdadeiro” ou ainda “P∨Q só é falso se e somente se P e Q forem ambos falsos”. Desse modo, a tabela de verdade da disjunção inclusiva pode ser representada da seguinte forma:

Tabela da Verdade da Disjunção Inclusiva

P	Q	P∨Q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Diferente da disjunção inclusiva, a disjunção exclusiva não inclui a possibilidade de ambas as variáveis serem verdadeiras. Assim, usando o exemplo anterior teríamos “Ou eu vou à lanchonete ou eu vou à praia”, nesse caso não está contemplada a possibilidade de que eu vá tanto à lanchonete quanto à praia. A disjunção exclusiva pode ser representada por ⊻ ou ⊕. Nesse caso, temos que P⊻Q só será verdadeiro se e somente se o valor da variável P for diferente do valor da variável Q. Assim, podemos representar a tabela da verdade da disjunção inclusiva do seguinte modo:

Tabela da Verdade da Disjunção Exclusiva

P	Q	P⊻Q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

2.3 OPERADOR DA CONJUNÇÃO (∧)

A conjunção é o operador (∧) que é lido como “e”. Assim, P∧Q significa “Tanto P como Q são verdadeiros”. Em termos de valor de verdade, P∧Q resulta verdadeiro se e somente se (sse) ambos P e Q são verdadeiros. Desse modo, a tabela de verdade da conjunção é:

Tabela da Verdade da Conjunção

P	Q	P ∧ Q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

2.4 OPERADOR DE IMPLICAÇÃO (→)

O operador de implicação (se... então...) envolve um antecedente e um consequente. Ela significa que sendo o antecedente verdadeiro, o consequente é verdadeiro. Embora a princípio pareça contraintuitivo, a implicação só resulta em falso se o antecedente é verdadeiro e o consequente falso. Isso significa que condicionais com antecedentes falsos implicam a verdade do consequente. Desse modo, podemos representar a tabela da implicação do seguinte modo:

Tabela da Verdade da Implicação

P	Q	P → Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

2.5 TABELA COM TODOS OS OPERADORES

Assim, podemos resumir da seguinte forma os operadores e suas relações com os valores de verdade:

P→Q	Só resulta em falso se P for verdadeiro e Q falso.
¬P	Inverte o valor de verdade de P
¬Q	Inverte o valor de verdade de Q
P∨Q	Resulta falso se P e Q forem ambos falsos.
P⊻Q	Resulta verdadeiro se o valor de verdade de P for diferente do de Q.
P∧Q	Resulta verdadeiro apenas se ambos são verdadeiros

Essas noções também podem ser expressas como funções, assim temos que:

I (¬P) =V sse I(P)=F, ou seja, a função da negação de P retorna verdadeira se e somente se P for falso,

I (P∨Q) = V sse I(P)=V ou I(Q)=V a função da disjunção incluisva P ou Q retorna verdadeira se e somente se P ou Q forem verdadeiros.

I (P∧Q)=V sse I(P)=V e I(Q)=V a função conjuntiva P e Q retorna verdadeira se e somente se P e Q forem ambos verdadeiros

I( P→Q)=V sse I(P)=F ou I(Q)=V a função de implicação de P para Q resulta verdadeira se e somente se P for falso ou Q for verdadeiro.

Assim, podemos montar a tabela da verdade com todas essas possibilidades:

P	Q	P → Q	¬P	¬ Q	P∨Q	P⊻Q	P∧Q
V	V	V	F	F	V	F	V
V	F	F	F	V	V	V	F
F	V	V	V	F	V	V	F
F	F	V	V	V	F	F	F

III. INTERCONVERSÃO DE OPERADORES

Utilizando as tabelas de verdade é possível perceber que algumas fórmulas equivalem a outras. A equivalência é um tipo de bi-implicação ou bi-condicional e significa que ambas as variáveis ou fórmulas tem o mesmo valor. A relação de equivalência pode ser representada por ⇔ . Assim P ⇔ Q só resulta verdadeiro se P e Q tiverem o mesmo valor de verdade:

Tabela de Verdade da Equivalência

P	Q	P ⇔ Q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

É importante lembrar que P e Q podem ser substituídos por outras variáveis e isso pode ajudar a mostrar como fórmulas equivalem. Considere, por exemplo, que queremos saber os valores de verdade da seguinte fórmula ¬(P∧¬Q). Podemos primeiro considerar o valor de verdade de (P∧¬Q), para tanto será preciso combinar o valor de verdade de P com o de ¬Q. (P∧¬Q) resulta verdadeiro, pelas regras da conjunção, se ambos são verdadeiros. Precisamos localizar na tabela onde P e ¬Q são ambos verdadeiros. Para sabermos o valor de ¬Q só precisamos lembrar que ele é o inverso de Q. Por fim, tendo determinado (P∧¬Q), para sabermos o valor de ¬(P∧¬Q), basta invertermos os valores. Veja como pela tabela abaixo é possível mostrar que P → Q ⇔ ¬(P∧¬Q)

P	Q	P → Q	¬Q	P∧¬Q	¬(P∧¬Q)
V	V	V	F	F	V
V	F	F	V	V	F
F	V	V	F	F	V
F	F	V	V	F	V

P → Q ⇔ ¬(P∧¬Q)

Vamos considerar outras equivalências com a ajuda da tabela. Tendo em mente que P⇔Q é uma relação de bi-implicação, ela equivale a dizer que se P equivale a Q então é verdade tanto que P implica Q quanto que Q implica P, o que pode ser expresso como uma conjunção em que é o caso que P → Q e Q →P são ambos verdadeiros, ou seja, (P → Q) ∧ (Q →P). De modo que temos a seguinte relação: (P⇔Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q →P)), cuja equivalência pode ser visualizada na tabela abaixo:

P	Q	P ⇔ Q	P → Q	Q →P	(P → Q) ∧ (Q →P)
V	V	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	F	V	F	F
F	F	V	V	V	V

(P⇔Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q →P)

Consideremos mais um exemplo de formas que equivalem:

Lembrando que a equivalência resulta verdadeira quando os valores das variáveis são iguais e a disjunção exclusiva resulta verdadeira quando os valores das variáveis são diferentes, então uma equivale à negação da outra:

P	Q	P ⇔ Q	¬(P⇔Q)	P⊻Q	¬ (P⊻Q)
V	V	V	F	F	V
V	F	F	V	V	F
F	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V

(P⇔Q) ⇔ ¬ (P⊻Q) e (P⊻Q) ⇔ ¬(P⇔Q)

Essas equivalências permitem como que possamos expressar a mesma fórmula utilizando outros operadores ou eliminando certos operadores, o que denominamos como interconversão de operadores. De acordo com o Teorema da Expressividade Máxima, embora existam dezesseis operadores possíveis, com um número pequeno de operadores é possível expressar todas as combinações possíveis, utilizando, por exemplo, apenas a negação e a conjunção. Na erdade é possível expressar todas as combinações possíveis utilizando o que é denominado como “negação da conjunção”, “Golpe de Sheffer”, “flecha de Peirce” ou “adaga de Quine”, que é representada por (|). Assim, (P | Q) significa “Não é o caso que P e Q sejam ambos verdadeiros”, logo (P|Q) só resulta falsa se P e Q forem ambos verdadeiros. Pode-se construir, pois, a seguinte tabela da negação da conjunção:

P	Q	P \| Q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	V

Evidentemente que a negação da conjunção equivale a negar a conjunção: P|Q ⇔ ¬(P∧Q).

Tendo em mente que a disjunção inclusiva difere da disjunção exclusiva apenas no sentido que ela inclui como resultando verdadeira quando ambas as variáveis são verdadeiras, pode se dizer que a disjunção exclusiva é igual à disjunção inclusiva somada ao fato de que P e Q não podem ser ambos verdadeiros. Isso pode ser expresso dizendo que a disjunção exclusiva equivale à disjunção inclusiva em conjunção com a negação da conjunção entre P e Q, como pode ser demonstrado pela tabela abaixo:

P	Q	P⊻Q	P∨Q	(P∧Q)	¬(P∧Q) ou P\|Q	(P∨Q)∧¬(P∧Q) ou (P∨Q)∧(P\|Q)
V	V	F	V	V	F	F
V	F	V	V	F	V	V
F	V	V	V	F	V	V
F	F	F	F	F	V	F

P⊻Q ⇔ (P∨Q)∧¬(P∧Q) ou P⊻Q ⇔ (P∨Q)∧(P|Q)

Considere que a conjunção também pode ser expressa usando a disjunção e a negação. A conjunção (P∧Q) resulta verdadeira se P e Q são ambos verdadeiros. Agora considere que a disjunção inclusiva só é falsa se P e Q são ambos falsos: P(F) e Q(F), nesse caso, considere que podemos inverter os valores de P e Q com uma negação ¬P(V) e ¬Q(V), sendo uma disjunção inclusiva, isso significaria que ela só resulta falsa se ambos (a negação de P e a negação de Q) são falsas - ¬P(F) e ¬Q(F) ou P(V) e Q(V). Perceba que isso é o inverso de (P∧Q) que resulta verdadeira só se P e Q são verdadeiros:

Conjunção resulta verdadeira só se P(V) + Q(V)=V

Disjunção mais negação resulta falsa só se P(V)+Q(V)=F

Portanto, basta inverter o resultando do segundo por meio de uma negação.

Pela tabela, a relação de equivalência pode ficar mais clara:

P	Q	P∧Q	¬P	¬ Q	(¬P ∨ ¬ Q)	¬ (¬P ∨ ¬ Q)
V	V	V	F	F	F	V
V	F	F	F	V	V	F
F	V	F	V	F	V	F
F	F	F	V	V	V	F

P∧Q ⇔ ¬ (¬P ∨ ¬ Q)

Considerando ainda que a disjunção inclusiva (P∨Q) significa que não pode ser o caso que P e Q sejam ambos falsos, ou que tal fórmula só resulta falsa se P e Q são ambos falsos. A negação de (P∨Q) significaria, então, que se P e Q são ambos falsos a fórmula ¬(P∨Q) resulta verdadeira, o que significa que podemos fazer essa negação equivale a dizer que P é falso em conjunção com Q é falso corresponde ao caso em que a negação de (P∨Q) resulta verdadeira. Pela tabela, isso pode ficar mais claro:

P	Q	P∨Q	¬P	¬Q	¬(P∨Q)	(¬P ∧ ¬Q)
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	V	F	F
F	V	V	V	F	F	F
F	F	F	V	V	V	V

(¬P ∧ ¬Q) ⇔ ¬ (P ∨Q)

Por fim, visto que na equivalência todos os valores de P e Q são os mesmos

Tabela da Inerconversão de Operadores

P → Q ⇔ ¬(P∧¬Q)

(P⇔Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q →P)

(P⇔Q) ⇔ ¬ (P⊻Q)

(P⊻Q) ⇔ ¬(P⇔Q)

P|Q ⇔ ¬(P∧Q)

P⊻Q ⇔ (P∨Q)∧¬(P∧Q)

P⊻Q ⇔ (P∨Q)∧(P|Q)

P∧Q ⇔ ¬ (¬P ∨ ¬ Q)

(¬P ∧ ¬Q) ⇔ ¬ (P ∨Q)

IV. TABELA COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS

Importante considerar, ainda, que se pode construir tabelas com fórmulas com mais de duas variáveis. Considere as variáveis P. Q e R, para saber o número de combinações possíveis basta elevar a base 2 ao expoente que corresponde ao número de variáveis. Isso porque a base 2 representa os valores binários de “verdadeiro” ou “falso” e o expoente se refere ao número de variáveis na fórmula. Assim temos 23=8. Temos, pois, 8 combinações possíveis.

Vamos montar a tabela referente à fórmula P →(Q ∨(P ∧R)), perceba que com se trata de uma implicação, que só é falsa se P for verdadeiro e o consequente (Q ∨(P∧R)) for falso, toda vez que P for falso, a fórmula resulta verdadeira. Nos casos em que P é verdadeiro, precisamos distinguir se o consequente é verdadeiro ou falso. Como considerado, o consequente é (Q ∨(P∧R)). Sabemos que (P∧R) é verdadeiro apenas nos casos em que P e R são verdadeiros. Também sabemos que uma disjunção inclusiva só resulta falsa se ambos forem falsos, logo nos casos que P e R são verdadeiros, o consequente todo será verdadeiro e, sendo o consequente verdadeiro, a fórmula completa resulta verdadeira. Por fim, sendo que se R for falso P∧R resulta falso, basta que nesses casos Q seja falso para que a disjunção inclusiva (Q∨(P∧R)) resulte falsa. Nesses casos, se Q é falso, o consequente é falso e a fórmula toda resulta falsa se P for verdadeiro. Por outro lado, se Q é verdadeiro, a disjunção resulta verdadeira, pois é preciso que ambos sejam falsos para a disjunção ser falsa e se o antecedente P for verdadeiro, a fórmula toda resultará verdadeira.

P	Q	R	P → (Q ∨(P∧R))
V	V	V	V
V	V	F	V
V	F	V	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	V	F	V
F	F	V	V
F	F	F	V

A tabela também com fórmulas mais complexas também podem ser montadas considerando partes, por exemplo, suponha que temos (Q ∨ R) → (P ⇔ R). Lembremos que a disjunção inclusiva (Q ∨ R) só é falsa se Q e R forem ambos falsos e que a dupla implicação (P ⇔ R) é verdadeira apenas se P e R tiverem o mesmo valor. Por fim, consideremos que (Q ∨ R) é o antecedente e (P ⇔ R) o consequente e que a implicação só resulta falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente falso. Nesse caso, podemos construir a seguinte tabela: