INTRODUÇÃO À LÓGICA TRADICIONAL

O objetivo deste texto consiste em apresentar uma introdução à Lógica Tradicional (aristotélica). Chamamos de Lógica Tradicional à lógica silogística desenvolvida especialmente a partir de Aristóteles e aperfeiçoada por autores medievais. Desde já, é importante desfazer o mito, de origem kantiana, de que a lógica aristotélica não teria passado por nenhum desenvolvimento significativo. Tal concepção é refutada, por exemplo, pelos avanços na quantificação dos predicados promovidos por Teofrasto, discípulo direto de Aristóteles. Também não é correto afirmar que a lógica tradicional aristotélica tenha sido o único sistema lógico vigente na Antiguidade e na Idade Média. Merecem menção, nesse contexto, tanto a lógica dos menários quanto a lógica-ontológica da Ars Magna luliana.

            A base da lógica tradicional e a proposição categórica. A proposição é o conteúdo cognitivo de uma sentença que pode ser verdadeira ou falsa. Uma proposição categórica, por sua vez, é uma sentença que afirma ou nega diretamente um predicado a um sujeito, sendo sua fórmula básica S é P, em que S é o sujeito e P é o predicado. As proposições categóricas podem ser classificadas quanto à qualidade (afirmativa ou negativa) e quantidade (singular, particular ou plural). Assim, temos os seguintes tipos de proposições, com exemplos:

(i) Singular afirmativa: “Este homem é mortal”

(ii) Singular negativa: “Não é o caso que este homem seja mortal”

(iii) Particular afirmativa: “Há pelo menos um homem que é mortal”

(iv) Particular negativa: “Há pelo menos um homem que não é mortal”

(v) Universal afirmativa: “Todo homem é mortal”

(vi) Universal negativa: “Nenhum homem é mortal”

            As proposições singulares não são utilizadas para compor silogismos. Um silogismo é um argumento dedutivo composto por três proposições categóricas do tipo particular ou universal, e por três termos: maior, menor e médio. O termo maior é o predicado da conclusão, o termo menor é o sujeito da conclusão e o termo médio é aquele que aparece nas premissas, mas não aparece na conclusão. Assim, há quatro tipos de proposições que podem compor um silogismo:

A: Universal afirmativa (Todo S é P)

E: Universal negativa (Nenhum S é P)

I: Particular afirmativa (Algum S é P)

O: Particular negativa (Algum S não é P)

 

            Essas quatro proposições se relacionam da seguinte maneira:

(i) Relação de contrariedade (A – E): Proposições que podem ser ambas falsas, mas não podem ser ambas verdadeiras.

(ii) Relação de subcontrariedade (I – O): Proposições que podem ser ambas verdadeiras, mas não podem ser ambas falsas.

(iii) Relações de subalternação (A → I; E → O): Se a proposição subalternante (A ou E) é verdadeira, a subalternada (I ou O) também será verdadeira.
O inverso não se garante: a verdade de I ou O não assegura a verdade de A ou E.

(iv) Relação de contradição (A – O; E – I): São proposições que possuem valores de verdade opostos: se uma é verdadeira, a outra é falsa;
se uma é falsa, a outra é verdadeira.

A imagem abaixo, denominada como “Quadrado das Oposições”, representa essas relações:

 

            O Quadrado das Oposições assume o que se denomina de hipótese existencial, ou seja, que o sujeito do qual se fala existe. Assim, as proposições categóricas devem ser lidas sob a forma: “Se existe pelo menos um x tal que x seja S…”. Sem essa suposição, a implicação veritativa da subalternação (A → I; E → O) não seria garantida: por exemplo, de “Todo S é P” não se seguiria “Algum S é P”, se S não existisse. Com base nessa estrutura, também é possível realizar conversões válidas, ou seja, substituir uma proposição por outra sem alterar seu valor de verdade, dentro das regras da lógica tradicional.

(1) Conversão Simples: é aquela que mantém a quantidade e inverte o sujeito e o predicado (E–E: “Nenhum S é P” → “Nenhum P é S”; I–I: “Algum S é P” → “Algum P é S”);

(2) Conversão por Limitação: reduz a quantidade universal para particular (A → I:  “Todo S é P” →  “Algum S é P”; E→ O: “Nenhum S é P” → “Algum P não é S”).

 

            Assim, temos a seguinte tabela das conversões:

Tipo de Conversão	Tipo de Proposição	Forma Original	Forma Convertida
(1) Simples	E-E	Nenhum S é P	Nenhum P é S
	I-I	Algum S é P	Algum P é S
(2) Por Limitação	A→I	Todo S é P	Algum P é S
	E→O	Nenhum S é P	Algum P não é S

 

            Um silogismo envolve, como considerado, também três termos. Observe o seguinte caso:

Premissa 1: Todo ser humano é mortal

Premissa 2: Brasileiros são seres humanos.

Conclusão: Logo, brasileiros são mortais.

            Evitei o exemplo clássicos de premissa 2 (“Sócrates é mortal”), porque como essa proposição é singular, ela não pode compor um silogismo em sentido próprio. O termo menor é o sujeito da conclusão, nesse caso “brasileiros”, enquanto o termo maior é o predicado da conclusão, ou seja, “mortal”. “Ser humano”, por sua vez, é o termo médio, na medida em que aparece em ambas as premissas, mas não na conclusão. É o termo médio que permite a conexão entre o termo menor e o maior, que será explicitada na conclusão. Para facilitar, podemos agora adotar as seguintes variáveis (S: termo menor; P: termo maior; M: termo médio). A conclusão de todo silogismo, na lógica aristotélica tradicional, sempre será “S é P”.  Nesse caso, o argumento do exemplo acima segue a forma:

Premissa Maior (A): Todo M é P.

Premissa Menor (A): Todo S é M.

Conclusão (A): Logo, todo S é P.

            Como esse argumento é formado por três proposições categóricas universais afirmativas, ele é chamado de A-A-A. Os medievais, para facilitar a memorização das fórmulas válidas de argumentos, deu a eles nomes que possuem as vogais de cada silogismo. A esse silogismo, deu-se o nome de BÁRBARA. Podemos representar o silogismo BÁRBARA por um diagrama de venn da seguinte maneira:

Nesse contexto, chamamos de figuras, os quatro possíveis arranjos dos três termos (menor, maior e médio) em silogismos:

Figura	Disposição dos Termos
1ª Figura	Premissa Maior: M – P Premissa Menor: S – M Conclusão: S – P
2ª Figura	Premissa Maior: P – M Premissa Menor: S – M Conclusão: S – P
3ª Figura	Premissa Maior: M – P Premissa Menor: M – S Conclusão: S – P
4ª Figura	Premissa Maior: P – M  Premissa Menor: M – S  Conclusão: S – P

 

            Diferentes combinações dos tipos de proposições categóricas (A, E, I, O) permitem o total de 64 modos: (4 (premissa maior)×4 (premissa menor)×4 (conclusão)=64 modos). Modos são as formas possíveis de organização lógica de um silogismo categórico, de acordo com o tipo das proposições que o compõem (A, E, I, O), respeitando a estrutura da figura silogística. No entanto, apenas alguns modos por figura são válidos logicamente. Um módulo é válido logicamente quando, sendo as suas premissas verdadeiras, sua conclusão é necessariamente verdadeira. Os silogismos válidos da primeira figura são:

Modo	Forma	Nome Mnemônico
A – A – A	Todo M é P Todo S é M Logo, todo S é P	BARBARA
E – A – E	Nenhum M é P Todo S é M Logo, nenhum S é P	CELARENT
A – I – I	Todo M é P Algum S é M Logo, algum S é P	DARII
E – I – O	Nenhum M é P Algum S é M Logo, algum S não é P	FERIO

            A validade desses quatro modos se baseia em dois princípios fundamentais: (i) dictum de omni: “O que se afirma de todo M se afirma de S”, ou seja. Se uma propriedade ou característica é afirmada para todo o termo médio (M), então essa mesma propriedade pode ser transferida para o sujeito (S) da conclusão, porque tudo que é verdadeiro para M também vale para o conjunto que inclui S; (ii) Dictum de nullo: O que se nega de todo M se nega de S”, ou seja, Se uma propriedade é negada para todo o termo médio (M), essa negação pode ser transferida para o sujeito (S), porque nada que pertence a S pode ter essa propriedade que é negada para todo M. A primeira figura é não derivada, canônica ou fundamental, no sentido de que ela não é derivada de outra figura.

            É possível, contudo, por meio de inferência, derivar dos modos da primeira figura, outros modos válidos de outras figuras. A tabela abaixo apresenta todos os modos válidos:

Figura	Modo Válido	Forma	Nome Mnemônico
1ª	AAA	Todo M é P Todo S é M; ∴ Todo S é P	Barbara
	EAE	Nenhum M é P; Todo S é M; ∴ Nenhum S é P	Celarent
	AII	Todo M é P;  Algum S é M;  ∴ Algum S é P	Darii
	EIO	Nenhum M é P; Algum S é M; ∴ Algum S não é P	Ferio
2ª	EAE	Nenhum P é M; Todo S é M; ∴ Nenhum S é P	Cesare
	AEE	Todo P é M;  Nenhum S é M; ∴ Nenhum S é P	Camestres
	EIO	Nenhum P é M; Algum S é M; ∴ Algum S não é P	Festino
	AOO	Todo P é M; Algum S não é M; ∴ Algum S não é P	Baroco
3ª	AAI	Todo M é P; Todo M é S;  ∴ Algum S é P	Darapti
	IAI	Algum M é P; Todo M é S;  ∴ Algum S é P	Disamis
	AII	Todo M é P; Algum M é S; ∴ Algum S é P	Datisi
	EAO	Nenhum M é P; Todo M é S; ∴ Algum S não é P	Felapton
	OAO	Algum M não é P; Todo M é S; ∴ Algum S não é P	Bocardo
	EIO	Nenhum M é P; Algum M é S; ∴ Algum S não é P	Ferison
4ª	AEE	Todo P é M; Nenhum M é S;  ∴ Nenhum S é P	Camenes
	IAI	Algum P é M; Todo M é S; ∴ Algum S é P	Dimaris
	AEO	Todo P é M;  Nenhum M é S;  ∴ Algum S não é P	Camenos
	EAO	Nenhum P é M; Todo M é S; ∴ Algum S não é P	Fesapo
	EIO	Nenhum P é M; Algum M é S; ∴ Algum S não é P	Fresison

 

            Para ilustrar como os  modos das demais figuras podem ser derivados da primeira, façamos a derivação da validade de dois modos da figura 2 a partir de modos da figura 1. Há duas formas de derivação principais: usando conversão simples e usando redução ao absurdo. A conversão por limitação não deve ser usada para esse caso, pois embora ela possa preservar o valor de verdade da proposição, ela não garante a de todo silogismo. Considere, por exemplo, a derivação de Cesare a partir de Celarent usando conversão simples. Celarent possui a seguinte forma:

Premissa maior: Nenhum M é P (E: M-P)

Premissa menor: Todo S é M (A: S-M)

Conclusão: Nenhum S é P (E: S-P)

            Se aplicarmos a conversão simples (E-E) na premissa maior, ela pode ser substituída por “Nenhum P é M”, assim temos:

Premissa maior: Nenhum P é M (E: P-M)

Premissa menor: Todo S é M (A: S-M)

Conclusão: Nenhum S´é P (A: S-P)

Essa estrutura segue a forma da segunda figura:

Premissa Maior: P – M

Premissa Menor: S – M

Conclusão: S – P

Visto que é um EAE da segunda figura, essa fórmula é Cesare. Para faciliar, os argumentos podem ser escritos da seguinte forma que nos permite saber tanto a figura quanto o modo

PeM

SaM

SeP

 

Agora, para ilustrar outra derivação, façamos a demonstração do silogismo Baroco (segunda figura) a partir do silogismo Barbara (primeira figura), utilizando a técnica da redução ao absurdo. A Redução ao absurdo, também chamada de prova por contradição, é um método de inferência que consiste em assumir o contrário do que se quer provar, ou seja, supor que a afirmação é falsa. A partir dessa suposição, desenvolve-se uma cadeia lógica de raciocínios. Se essa cadeia levar a uma contradição lógica, algo impossível ou falso, como afirmar e negar a mesma coisa ao mesmo tempo, então a suposição inicial (de que a afirmação era falsa) está errada. Portanto, a afirmação que se queria provar deve ser verdadeira.

O silogismo Barbara tem a seguinte forma:

MaP

SaM

SaP

Por sua vez, o silogismo Baroco apresenta a forma:

PaM

SoM

SoP

Para provar a validade do Baroco, utilizaremos a redução ao absurdo. Suponha que as premissas do Baroco (PaM e SoM) sejam verdadeiras, mas que sua conclusão (SoP) seja falsa. Como "Algum S não é P" (SoP) é do tipo O, sua negação (contraditória) é "Todo S é P" (SaP), que, por essa suposição, é verdadeira. Agora, observe as duas proposições verdadeiras:

Todo P é M (PaM) 

Todo S é P (SaP) 

Essas duas proposições podem formar um silogismo Barbara, se reorganizarmos os termos assim:

M=> P

𝑃=> 𝑀

S=>S

Ou seja:

Premissa maior (MaP): Todo P é M (PaM)

Premissa menor (SaM): Todo S é P (SaP)

Conclusão (SaP): Todo S é M (SaM)

Aplicando Barbara, concluímos, portanto, que: Todo S é M (SaM). Mas isso contradiz a premissa menor original do Baroco, que é "Algum S não é M" (SoM). Portanto, chegamos a uma contradição entre SaM e SoM. Por redução ao absurdo, isso significa que a suposição de que a conclusão do Baroco é falsa dada a verdade das premissas, está errada. Logo, Barroco é um silogismo válido, isto é, a verdade de sua conclusão se segue necessariamente da verdade de suas premissas.